עמוד ספר עם שטח מינימלי 📖

החלק המודפס (מקווקו) תמיד 150 סמ״ר. שוליים: 3 ס״מ למעלה ולמטה, 2 ס״מ בצדדים.
מזיזים את רוחב החלק המודפס — העמוד כולו משנה צורה. מתי הוא הכי קטן?

x
רוחב מודפס x
אורך מודפס 150/x
מידות העמוד
שטח העמוד

שטח העמוד S(x) = (x + 4)(150/x + 6)
פתרון א׳ — מידות החלק המודפס

נסמן את רוחב החלק המודפס ב־x. אז אורכו:

150 / x

מידות העמוד (מוסיפים 2+2 לרוחב ו־3+3 לאורך):

width = x + 4 , height = 150/x + 6
S(x) = (x + 4)(150/x + 6) = 174 + 6x + 600/x
S′(x) = 6 − 600/x² = 0 ⇒ x² = 100 ⇒ x = 10
S′(5) < 0 , S′(20) > 0 ⇒ minimum

החלק המודפס: רוחב 10 ס״מ, אורך 15 ס״מ.

פתרון ב׳ — השטח המינימלי של העמוד
width = 10 + 4 = 14 , height = 15 + 6 = 21
S = 14 · 21 = 294

השטח המינימלי של העמוד הוא 294 סמ״ר. שימו לב: גם העמוד (14×21) וגם החלק המודפס (10×15) באותו יחס, 2:3.